父が税金を滞納したまま亡くなりました。私に払う義務がありますか。

支払う義務があります。
遺産相続といえば、預貯金や不動産など、いわゆる「プラスの財産（資産）」を思い浮かべると思いますが、それだけではありません。借金や、税金の滞納など「マイナスの財産（負債）」も相続（相続は亡くなった時点で開始されます）されます。
税金を滞納したまま亡くなった場合、民法に従い、配偶者、子などそれぞれの相続持分が決まります。これまで通知してきた納税通知や督促の効果、延滞金がそのまま相続人に引継がれますので、他人事のように放っておくと、差押え等の滞納処分をされることになります。相続した時点で、滞納者となるのです。
子や孫に「マイナスの財産」を残さないよう税金は完納してください。
「プラスの財産」も「マイナスの財産」もまったく相続しない場合は、相続の開始があったことを知った時から、３ヶ月以内に家庭裁判所で相続放棄の手続きをとることもできます。「プラスの財産」だけを相続するということはできませんのでご注意を。